Critères de divisibilité

Propriété

• Un nombre entier est divisible par \(2\) si et seulement s'il est pair. Autrement dit, un nombre est divisible par \(2\) si et seulement si son chiffre des unités est \(0\) ou \(2\) ou \(4\) ou \(6\) ou \(8\).
  
• Un nombre entier est divisible par \(3\) si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de \(3\).
  
• Un nombre entier est divisible par \(4\) si et seulement si le nombre constitué par ses deux derniers chiffres (celui des dizaines et celui des unités) est un multiple de \(4\).
  
• Un nombre entier est divisible par \(5\) si et seulement si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\).
  
• Un nombre entier est divisible par \(9\) si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de \(9\).
  

Exemples

• \(54\) est un nombre pair, il est donc divisible par \(2\), et on a \(54=2\times 27\).
  
• \(174\) est divisible par \(3\) car \(1+7+4=12\) qui est un multiple de \(3\), et on a \(174=3\times 58\).
  
• \(224\) est divisible par \(4\) puisque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est \(24\) qui est un multiple de \(4\), et on a \(224=4\times 56\).
  
• \(4\ 600\) est divisible par \(4\) puisque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est \(00\) soit \(0\) qui est un multiple de \(4\) , et on a \(4600=4\times 1150\).
  
• \(765\) est divisible par \(5\) puisque son chiffre des unités est \(5\) , et on a \(765=5\times 153\).
  
• \(100\) est divisible par \(5\) puisque son chiffre des unités est \(0\) , et on a \(100=5\times 20\).
  
• \(819\) est divisible par \(9\) car \(8+1+9=18\) qui est un multiple de \(9\) , et on a \(819=9\times91\).
  

​​​​Propriété

• Si un nombre est divisible par \(4\), alors il est divisible par \(2\).
• Si un nombre est divisible par \(9\), alors il est divisible par \(3\).
• Un nombre est divisible par \(6\) si et seulement s'il est divisible par \(2\) et par \(3\).

Exemple

\(102\) est un nombre pair donc il est divisible par \(2\).
De plus, \(1+0+2=3\) est un multiple de \(3\) donc \(102\) est divisible par \(3\).
Par conséquent, \(102\) est divisible par \(6\) et on a \(102=6\times 17\).

Remarque

D'après la propriété, si un nombre n'est pas divisible par \(2\), alors il n'est pas divisible par \(4\).
Par exemple, \(453\) est un nombre impair, il n'est pas divisible par \(2\), donc il n'est pas divisible par \(4\)D'après la propriété, si on nombre n'est pas divisible par \(3\), alors il n'est pas divisible par \(9\).

Exemple
Simplifions la fraction suivante \(\dfrac{576}{336}\).
\(576=2\times 288=2\times 2\times 144=2^2\times 2\times 72=2^3\times 2 \times 36=2^4 \times 2 \times 18 \times =2^5 \times 2 \times 9\)Et donc \(576 = 2^6 \times 3^2\).
\(336=2\times 168=2\times 2 \times 84=2^2\times 2\times 42=2^3 \times 2\times 21=2^4 \times 3\times 7\).
D'où \(\dfrac{576}{336}=\dfrac{2^6\times 3^2}{2^4\times 3\times 7}=\dfrac{2^6}{2^4}\times \dfrac{3^2}{3}\times \dfrac{1}{7}=2^{6-4}\times 3^{2-1}\times \dfrac{1}{7}=2^2\times 3\times \dfrac{1}{7}=\dfrac{12}{7}\).